Если у вас есть сам поток, ссылка на аудиопоток, который вы получаете, то его достаточно просто стандартными методами сохранить в файл. Возможно потребуется после добавление специальных заголовков, чтобы файл можно было проиграть. Стандартной функциональности
записи того, что в данный момент играет - нет. А по поводу сохранения потока посмотрите -
Record HTTP Audio stream to file
Для связи [mail]