Olá,
Você pode utilizar para checar a conexão o seguinte:
if (context.Database.Connection.State != ConnectionState.Open)
context.Database.Connection.Open();
Porém, o método SaveChanges já deveria fazer o necessário para salvar na base de dados.
Verifique se você está adicionando seus objetos no context para que os mesmos sejam persistidos. Vide exemplo abaixo:
context.SuaTabela.Add(objeto);