この機能がどのように実現されているか、 考えてみてください。 そうすれば、 なにを調査すればよいかわかります。
ASP.NET の DropDownList コントロールは、 HTML の select 要素に変換されて出力されます。
HTML の select 要素を、 ブラウザが解釈して表示します。 どのような形で表示するかは、 ブラウザの実装によります。 ( → HTML 4.01 17.6, 参考日本語訳 )
※ ドロップダウンの形で表示するかどうか、 また、 右端に▼をクリックしたらドロップダンするのか、 といったことは、 すべてブラウザの実装しだいです。
次に、 その表示された select 要素を制御する方法ですが、 これまたブラウザの実装によります。 一般的には、 HTML 文書に埋め込まれた ( または、 HTML 文書に取り込んだ ) JavaScript で制御することになります。
※ Web サーバからブラウザへ HTML 文書を送り返したら、 そこで通信は終了しています。 ので、 Web サーバ側で動いているプログラムから、 直接制御できたりはしません。
したがって、 調べるべきことは…
1. HTML + JavaScript を使って、 ターゲットのブラウザで希望する機能が実現できるかどうか?
2. (実現できたとして) その HTML と JavaScript を、 ASP.NET から出力するにはどうすればよいか?
…です。
ちなみに、 ターゲットが IE の場合は、 マイクロソフトの Dynamic HTML の SELECT オブジェクト を、 まずは調べてみてください。
※ ヒント: ドロップダウンリストを、 HTML の input 要素 (または span 要素) + button 要素 + select 要素 (リストボックス) の組み合わせで構成するという手法もあります。 この場合、 ASP.NET の DropDownList コントロールは使えません。