理解が悪くて申し訳ないのですが、Ｐｕｂｌｉｃで宣言をした関数をＣａｌｌすることとの違いがどうにもわかりません。
Publicな関数をコールする場合、その前に型名が必要です。型がわからなければPublicな関数をコールすることはできません。ところが、クラスを作る際にその型がわからないことがあります。もしくはわかっていても、その型が動的に変わる可能性がある場合、困ってしまいます。例えば以下のように書いてしまうと、HogeクラスからはFugaクラスの関数しか呼べません。
Public Class Hoge
・
・
Fuga.Moge関数()
・
・
End Class
しかし、以下のように書いておけば、Fooインターフェースを実装したクラスであれば、どのようなクラスであろうとも、そのクラスに存在するMoge関数を呼ぶことができます。つまり、インターフェースで規定するとは、以下のように書いた時にそのインターフェースを実装するクラスにMoge関数がないと困ってしまうので、インターフェースを実装したクラスでは絶対にMoge関数を用意して下さいということになります。インターフェースを実装したクラスは、Fooインターフェース型にキャストすることができます。これがポイントです。つまり、Fooインターフェース型を経由して、HogeクラスからMoge関数を実行してもらえることになります。Hogeクラスからは特定の型（今回の例ではFuga）が消えています。これでHogeは特定の型に依存しない汎用的なクラスになっています。
Public Class Hoge
・
・
Fooインターフェース.Moge関数()
・
・
End Class
それを継承したクラス(継承クラスとします）で、あるテーブルの内容についてそれぞれのメソッドをOverLoadしてあるテーブルに対応したエラーチェックなどを行い、具体的なデータを取得します。追加、更新などはDBへの接続など、共通する作業はあるのですが、パラメータなどはばらばらなので、各テーブルの継承クラスに独自メソッドとして実装すればよいと思うのですが、それでよいのでしょうか。
継承とインターフェースは全くの別物です。継承関係にあるクラスは同じ仲間です。ですからそのまま親のクラスの関数を呼ぶことができます。しかし、インターフェースは全く赤の他人同士のクラスを結び付ける仕組みです。ご提示されているＤＢへの接続のためのクラスですと、拝見する限り、今のところインターフェースの出番は必然ではないように思います。
それとも、Baseクラスにインターフェイスとして指定しておき（この表現でよいかわかりませんが）各継承クラスでその規格に従って実装するほうが良いのでしょうか。
上で回答した通りです。
また、インターフェイスを記述した場合、継承クラスではその内容について、必ず実装しなければならないのでしょうか。
上に書いた通りです。必ず実装しなければなりません。
（ヘルプでインターフェイスは一度作成したら、変更しないほうが良いとあったので、テストはしていません。）
インターフェースを実装したクラスは、必ずインターフェースの規約を守って作られていますから、そのインターフェースの規約が変わるということは、そのインターフェースを実装しているクラスのソースを全て変更する必要があり、影響が大きいからでしょう。
★良い回答には回答済みマークを付けよう！ わんくま同盟 MVP - Visual C# http://blogs.wankuma.com/trapemiya/
