こういうときは元のサーバで
BACKUP LOG XXXX TO DISK='C:\XXX.log' WITH NO_TRUNCATE
とトランザクションログを取得します。
当然、元サーバのフルバックアップが取得されていることが前提です。
それから、別のサーバで、取得済みのフルバックアップ、トランザクションログを適用して、NO_TRUNCATE で取得したトランザクションログを STOPAT で削除してしまった前の時間で止めるというやり方をします。
もし、これでもできないというのであれば、一時的に別のサーバに master/msdb のシステムデータベースファイルもコピーして、別サーバの SQL Server を起動します。
起動後
EXEC sp_dropserver '元サーバ名'
GO
EXEC sp_addserver '別サーバ名', 'local'
GO
とすれば、動作するようになります。
ここまでできれば、元サーバの完全なコピーとなりますので、トランザクションログを取得して、リストアで STOPAT を使っても問題ないでしょう。