以下のようなことと理解してます。理解が違っていたら、具体的にどのように違うかを連絡ください。
(1) ASP.NET 標準の TextBox と AJAX Control Toolkit の Extender を使ったユーザーコントロール (.ascx) がある。
(2) そのユーザーコントロールを使用している .aspx ページで、JavaScript の getElementById メソッドを使用して、ユーザーコントロールの TextBox に該当する input 要素を取得し、その value 属性の値を取得したい。
(3) JavaScript のコードは、.aspx ページにインラインで書かれている。
(4) ユーザーコントロールの TextBox の ClientID を、JavaScript のコードの getElementById メソッドの引数に埋め込みたい。
上記の理解が正しければ、ユーザーコントロール (.ascx) に、C# のコードで TextBox の ClientID を取得するためのパブリック・プロパティを追加し、.aspx ページではそのパブリック・プロパティをコードブロック（即ち、<% ... %>）で埋め込んでやればいいはずです。
具体的には以下のような感じです。
ユーザーコントロール (.ascx)
<%@ Control Language="C#" ClassName="WebUserControl" %>
<script runat="server">
public string TextBoxClientID
{
get { return Control_Date.ClientID; }
}
</script>
<asp:TextBox ID="Control_Date"
runat="server"
Width="130px"
MaxLength="1"
CssClass="imeDisabled"
style="text-align:justify"
autocomplete="on"
ValidationGroup="MKE" />
・・・以下省略・・・
.aspx ページ
<body>
<form id="form1" runat="server">
<asp:ToolkitScriptManager ID="ToolkitScriptManager1" runat="server">
</asp:ToolkitScriptManager>
<div>
<Ctrl:DateCtrl ID="thismonthBegin" runat="server" />
</div>
</form>
<script type="text/javascript">
//<![CDATA[
window.onload = function () {
var element = document.getElementById("<%=thismonthBegin.TextBoxClientID%>");
element.onchange = function () {
alert(element.value);
}
}
//]]>
</script>
</body>
AJAX Control Toolkit の TabContainer や Calendar を使用する際、head 要素内にコードブロック（即ち、<% ... %>）を定義すると例外がスローされるという問題があるので注意してください。詳細は下記ページを参照してください。回避策はコードブロックを head タグの外に移動するだけです。
ACT の TabContainer
http://surferonwww.info/BlogEngine/post/2010/11/05/Ploblem-in-TabCaintainer-and-Calendar-of-AJAX-Control-Toolkit.aspx
