Azure AppService WebApp と仮想ネットワークを統合する事ができます。
以下の手法を参考にされてください。
https://azure.microsoft.com/ja-jp/documentation/articles/web-sites-integrate-with-vnet/
また、グローバルIPでAzureのネットワーク側を経由する形となりますが、WebAppにIP固定SSLを採用してもらい。
仮想マシンに構築したPostgresSQLには、FirewallでWebAppからのみアクセスを受け付けるようにIP制限を設ける形で行う方法も考えられます。