こんにちは。
そもそもAPIを100%引き継いでいると言われていたのはXamarin.Formsではなく、
Xamarin.AndroidとXamarin.iOSなど各プラットフォームのことです。
XamarinはiOSとAndroidoを共通化したもの、ではなく各プラットフォームのアプリケーションをC#で作れるようにしたもので
その中で共通化できるものを共通化していってみましょうというのがメリットです。(通常の多くはビジネスロジック)
Xamarin.Formsはその中で生まれたプレゼンテーションに関して共通化できそうなところを共通化したフレームワークで、標準だと出来ないことのほうが多いんじゃないでしょうか。
> ①developerのページでAPIにてXamarin.forms.coreというものがあるがこれはXamarin.formsとどういった違いがあるのか。
フレームワーク内部の名前空間の話をあまり突っ込んでもしょうがないと思いますが、Xamarin.Formsの基本的な実装が該当するようです
https://github.com/xamarin/Xamarin.Forms
> ②例えば動画を背景に入れたいといった場合のAPIの検索方法はどうしたらよいのか。
以下の順じゃないですかね。
- Xamarin.Formsで簡単に出来そうか?
- OSSライブラリなどでもしかしたらあるかも?
- 自力でやるしかない、中身を見てみよう
今回のケースであればまずはContentPageのBackgroundにMediaやVideoを指定できるか検索してみては。
ダメそうであればXamarin.Fomrs.Plugin や NuGet あたりを調べる。
それでだめならContentPageの各プラットフォーム実装を見て、その中でiOS、Androidそれぞれのプラットフォームで(Xamarin関係なしに)どう実装する方法が良いかを調べる。
> ③どこのAPIをみたら、クロスプラットフォームとしてiOSでも生かせる実装なのか、Androidにしか対応できないといった制限がかかっているのかいないのかの線引きはどのようにして判断したらよいのか。
対応表みたいなのは見た記憶がないです。
APIというより、結局はXamarin.Formsのつもりで実行した処理は、Xamarin.Android、Xamarin.iOS 用のAPIやコンポーネントに置き換わるだけなので、GitHub上でオープンになってますから追ったほうが早いと思いますよ。