A la vista de la sentencia que estás usando (utiliza el objeto SqlConnection) deduzco que estás programando con VB.NET. Lo digo porque has puesto la pregunta en el foro de VB5/6. La diferencia es importante, porque la solución es diferente en VB.NET y VB5/6.
Normalmente lo que se suele hacer en los programas de .NET es poner la cadena de conexión en el fichero de configuración de la aplicación (.config). Puedes leer una explicación aquí:
http://joseluisgarciab.blogspot.com.es/2013/10/app-config-cadenas-de-conexion.html
y tienes este artículo de MSDN:
http://msdn.microsoft.com/es-es/library/ms254494(v=vs.110).aspx
Pero si no quieres seguir el método estándar y realmente lo quieres hacer con una clase, basta con que en una clase cualquiera declares la conexión en una variable estática (Shared en VB.NET). En VB puedes declararla en un módulo, que el compilador automáticamente
traduce a una clase estática:
Module CadenasDeConexion
Public MiCadena As String = "Data Source=ICA1;Initial Catalog=AplicacionIca;Integrated Security=True"
End Module
Después para usarla en cualquier sitio la llamas por el nombre del módulo (o la clase) seguido de un punto y el nombre de la variable:
Dim cnx as SqlConnection = CadenasDeConexion.MiCadena