No vas a poder establecer la conexión a SQL Server directamente desde el javascript. En la mayor parte de los entornos, o bien no habrá un driver que funcione desde el js cliente, o los mecanismos de seguridad del entorno lo impedirán.
Lo que se hace es emplear AJAX para realizar una llamada desde el cliente al servidor usando javascript. El servidor asp.net es el que en C# establece la conexión al servidor SQL para hacer la búsqueda. Y después devuelve los resultados a la petición AJAX,
ahí el javascript retoma el control, y pinta los resultados en pantalla.
Son varios pasos, así que si tienes duda en alguno de ellos pon la pregunta concreta. Por ejemplo, matiza si no sabes cómo usar AJAX desde javascript (te recomiendo apoyarte en una librería tal como jQuery, que te resultará más fácil que tratar de usar a
mano el XmlHttpRequest), o si no sabes cómo atender la petición desde C#, o si no sabes cómo hacer la búsqueda en SQL desde C#...